Как найти жесткость пружинного маятника

Пружинный маятник — формулы и уравнения нахождения величин

Пружинный маятник — колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.

Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики.

В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости.

Приняты следующие обозначения:

k — коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Особенностями пружинных маятников являются:

Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Виды пружинных маятников

Существует два типа данной системы:

Вертикальный маятник — на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.

Горизонтальный — в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.

Сила упругости в пружинном маятнике

До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её.

Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.

Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:

где k — коэффициент жесткости пружины (Нм),

Уравнения колебаний пружинного маятника

Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона.

Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:

F(t) = ma(t) = — mw2x(t),

где w — радиальная частота гармонического колебания.

Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:

Период и частота свободных колебаний пружинного маятника

При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.

Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:

Факторы, от которых зависит частота:

Коэффициент упругости. На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.

Масса груза. От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.

Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника

Учитывая начальные условия и рассчитав уравнение колебаний, можем точно описать колебания пружинного маятника.

В качестве начальных условий используются: амплитуда (А) и начальная фаза колебаний (ϕ).

Энергия пружинного маятника

При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.

Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:

Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.

В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.

Влияние силы трения при расчете не учитывают.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника

Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.

Формулы пружинного маятника

Определение и формулы пружинного маятника

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

где $<щu>^2_0=frac $ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где $_0=sqrt >>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; $<(omega >_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и $_1$ — начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

[Re tilde=Releft(Acdot exp left(ileft(_0t+varphi right)right)right)left(3right).]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

Так как частота колебаний ($nu $) — величина обратная к периоду, то:

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($varphi $).

Амплитуду можно найти как:

начальная фаза при этом:

где $v_0$ — скорость груза при $t=0 c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

где $dot=v$ — скорость движения груза; $E_k=frac>^2> <2>$ — кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

• Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
• Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600 frac<Н> <м>$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1 frac<м> <с>$?

Решение. Сделаем рисунок.

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

где $E_$ — потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_$ — кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

Потенциальная энергия равна:

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

Из (1.4) выразим искомую величину:

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A $где $A$ и $omega $ — постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_$. В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_$, значит:

Как найти жесткость пружинного маятника

2.2. Свободные колебания. Пружинный маятник

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .

Таким образом, груз некоторой массы m , прикрепленный к пружине жесткости k , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .

Круговая частота ω свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

Частота ω называется собственной частотой колебательной системы.

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x , равную

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x : ускорение является второй производной координаты тела x по времени t :

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω или период T . Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда x _m и начальная фаза φ , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δ l и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то x _m = Δ l , φ = 0 .

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость то ,

Таким образом, амплитуда x _m свободных колебаний и его начальная фаза φ определяются начальными условиями .

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил M _упр упругой деформации кручения:

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична жесткости пружины k . Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. §1.23)

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

Как найти жесткость пружинного маятника

1. цЕУФЛПУФШ РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ 8000 о/Н. юЕНХ ТБЧЕО РЕТЙПД Й ЮБУФПФБ ЕЗП ЛПМЕВБОЙК?

2. дЧБ ПДЙОБЛПЧЩИ РТХЦЙООЩИ НБСФОЙЛБ ЛПМЕВМАФУС У БНРМЙФХДБНЙ — 3 Й 6 УН. лБЛ ТБЪМЙЮБАФУС РЕТЙПДЩ ЙИ ЛПМЕВБОЙК?

3. рТХЦЙООЩК НБСФОЙЛ УПЧЕТЫЙМ 15 ЛПМЕВБОЙК ЪБ ПДОХ НЙОХФХ. лБЛПЧЩ РЕТЙПД Й ЮБУФПФБ ЛПМЕВБОЙК?

4. лППТДЙОБФЩ РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ ЙЪНЕОСАФУС РП ЪБЛПОХ

.

юЕНХ ТБЧОЩ БНРМЙФХДБ, РЕТЙПД Й ЮБУФПФБ ЛПМЕВБОЙК. ч ЖПТНХМЕ ЧУЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ЧЩТБЦЕОЩ Ч УЙУФЕНЕ уй.

лТБФЛБС ФЕПТЙС:

рТХЦЙООЩК НБСФОЙЛ – ЬФП ЗТХЪ, ЛПМЕВМАЭЙКУС ОБ РТХЦЙОЕ. пО УПЧЕТЭБЕФ ЧПЪЧТБФОП-РПУФХРБФЕМШОПЕ ДЧЙЦЕОЙЕ. рТХЦЙООЩК НБСФОЙЛ РПДЮЙОСЕФУС ЪБЛПОБН ДЧЙЦЕОЙС, РП ЛПФПТЩН НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ РЕТЙПД ЕЗП ЛПМЕВБОЙК, ЪОБС НБУУХ ЗТХЪБ Й ЦЕУФЛПУФШ РТХЦЙОЩ. рЕТЙПД ЛПМЕВБОЙК РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ ОЕ ЪБЧЙУЙФ ПФ НЕУФБ ЕЗП ТБУРПМПЦЕОЙС Й БНРМЙФХДЩ ЛПМЕВБОЙК.

жПТНХМЩ ДМС ТЕЫЕОЙС :

бМЗПТЙФН ТЕЫЕОЙС ФЙРПЧПК ЪБДБЮЙ:

1. лТБФЛП ЪБРЙУЩЧБЕН ХУМПЧЙЕ, ЙЪПВТБЦБЕН ЕЗП ЗТБЖЙЮЕУЛЙ. оБ ТЙУХОЛЕ ПВПЪОБЮБЕН ОЕПВИПДЙНЩЕ ДБООЩЕ: УЙМЩ, ДЕКУФЧХАЭЙЕ ОБ НБСФОЙЛ, ОБРТБЧМЕОЙЕ ЕЗП ДЧЙЦЕОЙС Й ДТХЗЙЕ.
2. ъБРЙУЩЧБЕН ПУОПЧОХА ЖПТНХМХ ДМС ПРТЕДЕМЕОЙС РЕТЙПДБ ЛПМЕВБОЙК РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ Й ДТХЗЙЕ ОЕПВИПДЙНЩЕ ЖПТНХМЩ ЛПМЕВБФЕМШОПЗП ДЧЙЦЕОЙС. пРТЕДЕМСЕН, ЛБЛЙЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ОБДП ОБКФЙ ЙЪ ДТХЗЙИ НЕИБОЙЮЕУЛЙИ УППФОПЫЕОЙК, ЪБРЙУЩЧБЕН ЙИ.
3. тЕЫБЕН РПМХЮЕООЩЕ ХТБЧОЕОЙС Ч ПВЭЕН ЧЙДЕ.
4. рПДУФБЧМСЕН ДБООЩЕ, ЧЩЮЙУМСЕН. рЕТЕД РПДУФБОПЧЛПК РЕТЕЧПДЙН ЧУЕ ДБООЩЕ Ч ЕДЙОХА УЙУФЕНХ.
5. ъБРЙУЩЧБЕН ПФЧЕФ.

рТЙНЕТЩ ТЕЫЕОЙС:

ъБДБЮБ 1.

нБУУБ ЗТХЪБ РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ 0,5 ЛЗ, ЦЕУФЛПУФШ РТХЦЙОЩ 8000 о/Н. юЕНХ ТБЧЕО РЕТЙПД Й ЮБУФПФБ ЕЗП ЛПМЕВБОЙК?

1. лТБФЛП ЪБРЙУЩЧБЕН ХУМПЧЙЕ, ЙЪПВТБЦБЕН ЕЗП ЗТБЖЙЮЕУЛЙ.

2. ъБРЙУЩЧБЕН ПУОПЧОХА ЖПТНХМХ ДМС ПРТЕДЕМЕОЙС РЕТЙПДБ ЛПМЕВБОЙК РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ Й УППФОПЫЕОЙЕ НЕЦДХ РЕТЙПДПН Й ЮБУФПФПК ЛПМЕВБОЙК.

3. тЕЫБЕН РПМХЮЕООЩЕ ХТБЧОЕОЙС Ч ПВЭЕН ЧЙДЕ. жПТНХМЩ УТБЪХ ДБАФ ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ.

4. рПДУФБЧМСЕН ДБООЩЕ, ЧЩЮЙУМСЕН.

5. пФЧЕФ: юБУФПФБ ЛПМЕВБОЙК РТЙНЕТОП 20 ЗЕТГ, ЙИ РЕТЙПД – 0,05 УЕЛХОДЩ.

ъБДБЮБ 2.

дЧБ ПДЙОБЛПЧЩИ РТХЦЙООЩИ НБСФОЙЛБ ЛПМЕВМАФУС У БНРМЙФХДБНЙ — 3 Й 6 УН. лБЛ ТБЪМЙЮБАФУС РЕТЙПДЩ ЙИ ЛПМЕВБОЙК?

1. лТБФЛП ЪБРЙУЩЧБЕН ХУМПЧЙЕ, ЙЪПВТБЦБЕН ЕЗП ЗТБЖЙЮЕУЛЙ.

2. ъБРЙУЩЧБЕН ПУОПЧОХА ЖПТНХМХ ДМС ПРТЕДЕМЕОЙС РЕТЙПДБ ЛПМЕВБОЙК РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ.

3. тЕЫБЕН РПМХЮЕООЩЕ ХТБЧОЕОЙС Ч ПВЭЕН ЧЙДЕ.

4. рПДУФБЧМСЕН ДБООЩЕ, ЧЩЮЙУМСЕН.

5. пФЧЕФ: рЕТЙПД ЛПМЕВБОЙК РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ ОЕ ЪБЧЙУЙФ ПФ БНРМЙФХДЩ.

ъБДБЮБ 3.

рТХЦЙООЩК НБСФОЙЛ УПЧЕТЫЙМ 15 ЛПМЕВБОЙК ЪБ ПДОХ НЙОХФХ. лБЛПЧЩ РЕТЙПД Й ЮБУФПФБ ЛПМЕВБОЙК?

1. лТБФЛП ЪБРЙУЩЧБЕН ХУМПЧЙЕ, ЙЪПВТБЦБЕН ЕЗП ЗТБЖЙЮЕУЛЙ.

2. юБУФПФБ ЛПМЕВБОЙК – ЬФП ЙИ ЛПМЙЮЕУФЧП Ч ЕДЙОЙГХ ЧТЕНЕОЙ. еДЙОЙГБ ЧТЕНЕОЙ Ч УЙУФЕНЕ уй – УЕЛХОДБ. ъОБЮЙФ, ОБДП РТПУФП ОБКФЙ ЛПМЙЮЕУФЧП ЛПМЕВБОЙК Ч УЕЛХОДХ. дМС ЬФПЗП ЛПМЙЮЕУФЧП ЛПМЕВБОЙК Ч НЙОХФХ ОБДП ТБЪДЕМЙФШ ОБ 60, ФБЛ ЛБЛ Ч НЙОХФЕ 60 УЕЛХОД.

рЕТЙПД – ЧЕМЙЮЙОБ, ПВТБФОБС ЮБУФПФЕ.

3. тЕЫБЕН РПМХЮЕООЩЕ ХТБЧОЕОЙС Ч ПВЭЕН ЧЙДЕ. жПТНХМЩ УТБЪХ ДБАФ ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ.

4. рПДУФБЧМСЕН ДБООЩЕ, ЧЩЮЙУМСЕН.

5. пФЧЕФ: РЕТЙПД ЛПМЕВБОЙК ТБЧЕО 4 УЕЛХОДБН, ЙИ ЮБУФПФХ – 0,25 ЗЕТГБ.

ъБДБЮБ 4.

лППТДЙОБФЩ РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ ЙЪНЕОСАФУС РП ЪБЛПОХ

.

юЕНХ ТБЧОЩ БНРМЙФХДБ, РЕТЙПД Й ЮБУФПФБ ЛПМЕВБОЙК. ч ЖПТНХМЕ ЧУЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ЧЩТБЦЕОЩ Ч УЙУФЕНЕ уй.

1. лТБФЛП ЪБРЙУЩЧБЕН ХУМПЧЙЕ, ЙЪПВТБЦБЕН ЕЗП ЗТБЖЙЮЕУЛЙ.

2. ъБРЙУЩЧБЕН ПВЭЕЕ ХТБЧОЕОЙЕ ЗБТНПОЙЮЕУЛПЗП ЛПМЕВБОЙС. уТБЧОЙЧБЕН ЪБДБООПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ДЧЙЦЕОЙС НБСФОЙЛБ У ПВЭЙН ХТБЧОЕОЙЕН.

3. йЪ УТБЧОЕОЙС РПМХЮБЕН:

пФУАДБ МЕЗЛП ЧЩЮЙУМСЕФУС ЮБУФПФБ Й РЕТЙПД ЛПМЕВБОЙК.

4. рПДУФБЧМСЕН ДБООЩЕ, ЧЩЮЙУМСЕН

5. пФЧЕФ: бНРМЙФХДБ ЛПМЕВБОЙК ТБЧОБ 0,5 НЕФТБ, РЕТЙПД – ЮЕФЩТЕН УЕЛХОДБН, ЮБУФПФБ – 0,25 зГ.