Радиус правильного шестиугольника формула

Шестиугольник — это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.

Выпуклый шестиугольник — это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.

Чему равна сумма углов выпуклого шестиугольника?

Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 — 2 ) = 720 градусов. См. теорему о сумме углов многоугольника.

При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.

Свойства правильного шестиугольника

все внутренние углы равны между собой
каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
все стороны равны между собой
сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений

всі внутрішні кути рівні між собою
кожен внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює 120 градусам
всі сторони рівні між собою сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаного кола
правильний шестикутник заповнює плоскість без пропусків і накладень

Формулы для правильного шестиугольника

(по порядку следования формул)

Радиус описанной окружности (R) правильного шестиугольника равен его стороне (t)
Все внутренние углы равны 120 градусам
Радиус вписанной окружности (r) равен корню из трех, деленному на два и умноженному на длину стороны t (радиус описанной окружности R)
Периметр правильного шестиугольника (P) равен шести радиусам описанной окружности (R) или четыре корня из трех, умноженным на радиус вписанной окружности (r)
Площадь правильного шестиугольника равна трем корням из трех пополам, умноженным на квадрат радиуса описанной окружности (R) или квадрат стороны (t); либо площадь правильного шестиугольника равна двум корням из трех, умноженным на квадрат радиуса вписанной окружности (t)

Задача

Найти объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, каждое ребро которой равно t .

Решение.
Так как высота цилиндра Н равна высоте призмы и равна а , достаточно найти радиус основания цилиндра, который будет равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник.

Знайти об’єм циліндра, вписаного в правильну шестикутну призму, кожне ребро якої дорівнює t .

Рiшення.
Так як висота циліндра Н дорівнює висоті призми і дорівнює а , достатньо знайти радіус основи циліндра, який буде дорівнювати радіусу кола, вписаного в правильний шестикутник.

Читать еще: Виды передаточных механизмов электроприводов

Площадь правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника — это число, характеризующее правильный шестиугольник в единицах измерения площади.

Правильный шестиугольник (гексагон) — это шестиугольник, у которого все стороны и углы равны.

[править] Обозначения

a — длина стороны;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/6;

P₆ — периметр правильного шестиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₆ — площадь правильного шестиугольника.

[править] Формулы

[math]S_6=frac<3sqrt<3>> <2>a^2 Leftrightarrow[/math] [math]Leftrightarrow S_6=6S_, S_=frac> <4>a^2 Leftrightarrow[/math] [math]Leftrightarrow S_6=frac<1> <2>P_6r, P_6=6a, r=frac> <2>a Leftrightarrow[/math] [math]Leftrightarrow S_6=frac<3sqrt<3>> <2>R^2, R=a Leftrightarrow[/math] [math]Leftrightarrow S_6=2sqrt<3>r^2, r=frac> <2>R[/math]

[править] Другие многоугольники

Площадь равностороннего треугольника;
Площадь квадрата;
Площадь правильного пятиугольника;
Площадь правильного шестиугольника;
Площадь правильного восьмиугольника;
Площадь правильного десятиугольника;
Площадь правильного двенадцатиугольника;
Площадь правильного шестнадцатиугольника;
Площадь правильного двадцатиугольника;
Площадь правильного n-угольника.

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Инструменты

Последнее изменение этой страницы: 22:47, 12 апреля 2020.
К этой странице обращались 1858 раз.

Текст страницы доступен по условиям лицензии GNU Free Documentation License. Материалы могут быть скопированы при условии указания активной ссылки на источник копирования в теле статьи (на той же странице). В отдельных случаях могут действовать условия лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike (CC BY-SA 3.0), информацию об этом можно просмотреть на странице обсуждения или в истории правок. В частности, условия лицензии CC BY-SA 3.0 действуют в отношении статей, перенесенных из Википедии (указание на факт переноса всегда есть в истории правок статьи).

Политика конфиденциальности
Описание Циклопедии
Отказ от ответственности

Радиус описанной окружности

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

у прямоугольного — на середине гипотенузы;

у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

Окружность, описанная около многоугольника

Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

Читать еще: Куда заливается гидравлическое масло

Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

Радиус описанной окружности правильного треугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

Если без иррациональности в знаменателе —

У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Радиус описанной окружности квадрата

Формула радиуса описанной окружности для квадрата

Если без иррациональности в знаменателе —

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника

Калькулятор площади шестиугольника

Шестиугольник или гексагон — это правильный многоугольник, у которого стороны равны между собой, а каждый угол равен строго 120 градусов. Гексагон иногда встречается в человеческой повседневности, поэтому вам может понадобиться вычислить его площадь не только в школьных задачах, но и в реальной жизни.

Выпуклый шестиугольник

Гескагон — это правильный выпуклый многоугольник, соответственно, все его углы равны, все стороны равны, а если провести отрезок через две соседние вершины, то вся фигура окажется по одну сторону от этого отрезка. Как и в любой правильный n-угольник, вокруг гексагона можно описать окружность или вписать ее вовнутрь. Главная особенность шестиугольника заключается в том, что длина радиуса описанной окружности совпадает с длиной стороны многоугольника. Благодаря этому свойству можно легко найти площадь гексагона по формуле:

S = 2,59 R 2 = 2,59 a 2 .

Кроме того, радиус вписанной окружности соотносится со стороной фигуры как:

Из этого следует, что вычислить площадь шестиугольника можно, оперируя одной из трех переменных на выбор.

Гексаграмма

Звездчатый правильный шестиугольник предстает перед нами в виде шестиконечной звезды. Такая фигура образуется путем наложения друг на друга двух равносторонних треугольников. Самой известной реальной гексаграммой является Звезда Давида — символ еврейского народа.

Шестиугольные числа

В теории чисел существуют фигурные числа, связанные с определенными геометрическими фигурами. Наибольшее применение находят треугольные и квадратные, а также тетраэдрические и пирамидальные числа, используя которые легко выкладывать геометрические фигуры при помощи реальных предметов. Например, пирамидальные числа подскажут вам, как сложить пушечные ядра в устойчивую пирамиду. Существуют также и шестиугольные числа, которые определяют число точек, необходимое для построения гексагона.

Читать еще: Типовые режимы термической обработки сталей таблица

Шестиугольник в реальности

Гексагоны часто встречаются в реальной жизни. К примеру, сечения гаек или карандашей имеют шестиугольную форму, благодаря чему обеспечивается удобный обхват предмета. Шестиугольник — это эффективная геометрическая фигура, способная замостить плоскость без пробелов и наложений. Именно поэтому шестиугольную форму часто имеют декоративные отделочные материалы, например, кафельная и тротуарная плитка или гипсокартонные панели.

Эффективность гексагона делает его популярным и в природе. Пчелиные соты обладают именно шестиугольной формой, благодаря которой пространство улья заполняется без пробелов. Еще одним примером гексагонального замощения плоскости является Тропа Великанов — памятник живой природы, сформированный во время извержения вулкана. Вулканический пепел был спрессован в шестиугольные колонны, которые замостили поверхность побережья Северной Ирландии.

Упаковка кругов на плоскости

И еще немного об эффективности гексагона. Упаковка шаров — классическая задача комбинаторной геометрии, которая требует найти оптимальный способ укладки непересекающихся шаров. На практике такая задача превращается в логистическую проблему упаковки апельсинов, яблок, пушечных ядер или любых других шарообразных объектов, которые требуется уложить максимально плотно. Гескагон — решение данной проблемы.

Известно, что наиболее эффективным расположением кругов в двухмерном пространстве является размещение центров окружностей на вершинах шестиугольников, которые заполняют плоскость без пробелов. В трехмерной реальности задача размещения шаров решается путем гексагональной укладки объектов.

При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить площадь правильного шестиугольника, зная его сторону или радиусы соответствующих окружностей. Давайте попробуем вычислить площади гексагонов на реальных примерах.

Примеры из реальной жизни

Гигантский гексагон

Гигантский гексагон — уникальное атмосферное явление на Сатуре, которое выглядит как грандиозный вихрь в форме правильного шестиугольника. Известно, что сторона гигантского гексагона составляет 13 800 км, благодаря чему мы можем определить площадь «облака». Для этого достаточно ввести значение стороны в форму калькулятора и получить результат:

Таким образом, площадь атмосферного вихря на Сатурне приблизительно составляет 494 777 633 квадратных километров. Поистине впечатляет.

Гексагональные шахматы

Мы все привыкли к шахматному полю, разделенному на 64 квадратные ячейки. Однако существуют и гексагональные шахматы, игровое поле которых разделено на 91 правильный шестиугольник. Давайте определим площадь игровой доски для гексагональной версии известной игры. Пусть сторона ячейки составляет 2 сантиметра. Площадь одной игровой клетки составит:

Тогда площадь всей доски будет равна 91 × 10,39 = 945,49 квадратных сантиметров.

Заключение

Шестиугольник часто встречается в реальности, хотя мы и не замечаем этого. Используйте наш онлайн-калькулятор для расчета площадей гексагонов при решении повседневных или школьных задач.

Радиус правильного шестиугольника формула