Загрузка...Какие поверхности называют линейчатыми
Линейчатые поверхности
Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890—1907 .
Смотреть что такое «Линейчатые поверхности» в других словарях:
Винтовые линии движения и поверхности — Винтовые линии, цилиндрические и конические, суть кривые двоякой кривизны, начерченные первые на прямой круглой цилиндрической, а последние на прямой круговой конической поверхности и пересекающие прямолинейные производящие под постоянным для… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Винтовые линии, движения и поверхности — Винтовые линии, цилиндрические и конические, суть кривые двоякой кривизны, начерченные первые на прямой круглой цилиндрической, а последние на прямой круговой конической поверхности и пересекающие прямолинейные производящие под постоянным для… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — двумерное алгебраическое многообразие. Вместе с алгебраическими кривыми А. п. представляют собой наиболее изученный класс алгебраич. многообразий. Богатство задач и идей, применяемых для их решения, делает теорию А. п. одним из самых интересных… … Математическая энциклопедия
КАНОНИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ — отображение алгебраич. многообразия Xв проективное пространство с помощью степеней канонического класса Кх (см. Линейная система). Пусть X неособая проективная кривая рода g;отображение, определяемое классом пКу, будет вложением для нек рого… … Математическая энциклопедия
Линейчатая поверхность — Линейчатый геликоид … Википедия
ИЗГИБАНИЕ — изометрическая деформация подмногообразия Мв римановом пространстве V, т. е. деформация, при к рой длины кривых на Мне изменяются. Задача об И. поверхностей ведет свое начало от К. Гаусса (С. Gauss) и принадлежит к числу основных проблем… … Математическая энциклопедия
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — алгебраическая или аналитическая полная неособая поверхность X, у к рой имеется пучок эллиптических кривых, т. е. морфизм на неособую кривую В, общий слой к рого неособая эллиптич. кривая. Всякая Э. п. бирационально (бимероморфно) эквивалентна… … Математическая энциклопедия
КОМПЛЕКС — прямых множество К прямых в трехмерном пространстве (проективном, аффинном, евклидовом), зависящее от трех параметров. Прямая lО K наз. лучом К. Через каждую точку Мпространства проходит однопараметрическая совокупность лучей К. конус К М. К.… … Математическая энциклопедия
КОНГРУЭНЦИЯ — прямых множество Спрямых трехмерного пространства (проективного, аффинного, евклидова), зависящее от двух параметров. Прямая наз. лучом К. Порядком К. наз. число прямых К., проходящих через произвольную точку пространства; классом число прямых К … Математическая энциклопедия
СЕДЛОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — обобщение поверхности отрицательной кривизны. Пусть М поверхность в трехмерном евклидовом пространстве, определяемая погружением двумерного многообразия Wв Е 3. Плоскость a отсекает от Мгорбушку, если среди компонент прообраза множества в… … Математическая энциклопедия
Какие поверхности называют линейчатыми
Линейчатые поверхности — поверхности, которые образуются с помощью прямой линии. Нелинейчатые поверхности — поверхности, которые образуются с помощью кривой линии. Развертывающиеся поверхности — поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок. Неразвертывающиеся поверхности — поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок. Поверхности с постоянной образующей — поверхности, образующая которых не изменяет своей формы в процессе образования поверхности. Поверхности с переменной образующей — поверхности, образующая которых изменяется в процессе образования поверхности.
Линейчатые развертываемые поверхности:
1. Конические поверхности задаются движением прямой линии l, проходящей через неподвижную точку М, по некоторой направляющей кривой линии а. (рис 128)
2. Цилиндрические поверхности задаются движением прямой, параллельной некоторому направлению, по заданной направляющей кривой. (рис 129)
3. Поверхность с ребром возврата (торс) образуется движением прямолинейной образующей l по некоторой кривой а так, что она остается касательной в каждой точке кривой.
Линейчатые неразвертываемые поверхности:
1) Цилиндроидобразован движением прямой, параллельной заданной плоскости параллелизма α, по двум пространственным кривым a и b.
2) Коноид образован движением прямой по одной прямолинейной направляющей n, по другой криволинейной направляющей m, оставаясь параллельной некоторой плоскости параллелизма α || π1.
3) Гиперболический параболоид, или косая плоскость, задается двумя скрещивающимися прямыми направляющими АВ, CD и плоскостью параллелизма α(απ1).
4) Однополостный гиперболоид образуется движением прямолинейной образующей l по трем прямолинейным скрещивающимся направляющим а, b, c.
5) Косой цилиндр с тремя направляющими образуется движением прямолинейной образующей по трем направляющим, одна из которых обязательно кривая.
Нелинейчатые неразвертываемые поверхности:
1) Эллипсоид трехосный образован движением переменного эллипса вдоль одной из трех его осей Х, Y, Z . Образующие эллипсы подобны.
2) Эллиптический параболоид образуется движением деформирующегося эллипса по двум направляющим параболам m и n
3) Двуполостный гиперболоид образуется движением изменяющегося эллипса по направляющей гиперболе вдоль действительной оси.
18. Точки и линии на поверхности.
Точка принадлежит поверхности, если она расположена на линии, принадлежащей поверхности. На поверхностях вращения в качестве таких линий удобно использовать параллели. Если на поверхности вращения (рис. 8.9) дана проекция М2, то для нахождения параллели, которой принадлежит точка М, проводим через М фронтально-проецирующую плоскость s (М2 ϵ s), такую что s ⊥ m. Тогда линия пересечения кривой поверхности с плоскостью s и даст искомую параллель. Радиус параллели равен расстоянию от оси вращения m1 до точки поверхности 11. Этим радиусом проводим окружность с центром в точке m1 (горизонтальной проекции оси вращения) и получаем горизонтальную проекцию параллели. На ней находим горизонтальные проекции точки М: М1 — на видимой стороне кривой поверхности, а М’1 — на невидимой.
Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат этой поверхности. Исключение составляет случай, когда линия представлена прямой, а поверхность — плоскостью. В этом случае для принадлежности прямой плоскости достаточно, чтобы хотя бы две точки ее принадлежали этой поверхности.
Если линия не принадлежит поверхности, то они пересекаются. Простейшим случаем является пересечение с поверхностью прямой линии. Задача решается путем заключения данной линии в какую-либо проецирующую плоскость и построением натуральной величины сечения, из которого легко определить точку входа и выхода прямой.
Какие поверхности называют линейчатыми
2.3.3.2. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ.
2.3.3.2.1. Развертывающиеся линейчатые поверхности
2.3.3.2.2. Неразвертывающиеся (косые) линейчатые поверхности
Как уже отмечалось, поверхность называется линейчатой, если она может быть образована перемещением прямой линии. Поверхность, которая не может быть образована движением прямой линии, называется нелинейчатой. Например, конус вращения — линейчатая поверхность, а сфера — нелинейчатая. Через любую точку линейчатой поверхности можно провести, по крайней мере, одну прямую, целиком принадлежащую поверхности. Множество таких прямых представляет собой непрерывный каркас линейчатой поверхности. Линейчатые поверхности разделяются на два вида: 1) развертывающиеся поверхности;
2) неразвертывающиеся, или косые поверхности.
Примечание. Все нелинейчатые поверхности являются неразвертывающимися. Рассмотрим несколько наиболее характерных разновидностей тех и других линейчатых поверхностей.
Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов. Очевидно, что все многогранные поверхности являются развертывающимися. Из кривых поверхностей этим свойством обладают только те линейчатые поверхности, которые имеют ребро возврата.
Существует только три вида линейчатых поверхностей, имеющих ребро возврата: торсы, конические и цилиндрические (Рис. 2.3.19) .
Торсы
1) пространственная ломаная линия 1, 2, 3, 4, 5, б. преобразуется в пространственную кривую линию m;
2) ребра многогранной поверхности преобразуются в касательные к пространственной кривой m;
3) многогранная поверхность преобразуется в линейчатую двухполую развертывающуюся кривую поверхность, которая называется торсом.
Множество всех касательных прямых к пространственной кривой представляет собой непрерывный каркас поверхности торса. Через каждую точку поверхности проходит одна касательная к кривой m. Таким образом, торс представляет собой поверхность, которая образуется непрерывным движением прямолинейной образующей, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой линии. Направляющая пространственная кривая m (рис. 2.3.20, б) служит границей между двумя полостями поверхности торса и называется ребром возврата. Если взять на кривой m какую-либо точку В и провести через нее плоскость , пересекающую обе полости поверхности, то полученная в пересечении кривая АВС будет иметь так называемую точку возврата B. Следовательно, ребро возврата является множеством точек возврата кривых линий, полученных при пересечении данной поверхности различными плоскостями. Этим и объясняется ее название. Если ребром возврата является цилиндрическая винтовая линия, то такая поверхность называется развертывающимся геликоидом. Так как углы наклона всех образующих этой поверхности к плоскости, перпендикулярной оси винтовой линии, одинаковы, она является поверхностью одинакового ската.
Плоскость, перпендикулярная оси поверхности, пересекает ее по эвольвенте окружности. Свойством развертываемости торс обладает потому, что он является пределом некоторой развертывающейся многогранной поверхности. Геометрическая часть определителя торса состоит из ребра возврата. Алгоритмическая часть определителя торса состоит из указания о том, что образующая прямая при своем движении остается касательной к ребру возврата. Если ребро возврата выродится в собственную точку пространства, то образующие торса, проходя через нее, образуют коническую поверхность произвольного вида. Если эта точка (вырожденное ребро возврата) будет несобственной точкой пространства, то образующие торса, проходя через нее, окажутся параллельными между собой и образуют цилиндрическую поверхность общего вида. Таким образом, цилиндрическая и коническая поверхности обладают свойством развертываемости, так как являются частными случаями поверхности торса. Однако, чтобы задать коническую или цилиндрическую поверхности, недостаточно иметь только ребро возврата (собственную или несобственную точку) — положение образующей прямой не определяется одной точкой. Необходимо задать еще направляющую линию.
Рис. 2.3.20, 1 анимация
К вопросу о развертываемости кривой линейчатой поверхности можно подойти и с точки зрения дифференциальной геометрии, которая доказывает, что линейчатая поверхность является развертывающейся, если касательная плоскость, проведенная в какой-либо точке поверхности, касается ее по прямолинейной образующей поверхности, проходящей через эту точку. Таким свойством обладают только три вида поверхностей: торс, коническая и цилиндрическая.
Анимационный рис. 2.3.20. 1 показывает кинематику формирования торса, у которого в качестве направляющей взята винтовая линия. Поверхность образована перемещением прямой по направляющей пространственной кривой ( винтовой линии). В процессе движения в каждый момент времени образующая прямая является касательной к направляющей.
Цилиндрические поверхности
Неподвижная кривая m(m1 m2), по которой скользит образующая l(l1l2), называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и цилиндрическая поверхность будет второго порядка. Геометрическая часть определителя цилиндрической поверхности состоит из направляющей линии m и исходного положения образующей l (рис. 2.3.21).
Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая кривую m и параллельная прямой l. Цилиндрическая поверхность является бесконечной в направлении своих образуюших. Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром, а фигуры сечения — его основаниями (рис. 2.3.22, 2.3.23). Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее образующим, называется нормальным. В зависимости от формы нормального сечения цилиндры бывают:
Рис. 2.3.22
1) круговые — нормальное сечение круг (рис. 2.3.22);
2) эллиптические — нормальное сечение эллипс (рис. 2.3.23);
3) параболические — нормальное сечение парабола;
4) гиперболические — нормальное сечение гипербола;
5) общего вида — нормальное сечение кривая случайного вида (рис. 2.3.20). Если за основание цилиндра принимается его нормальное сечение, цилиндр называют прямым (2.3.22, а).
Если за основание цилиндра принимается одно из косых сечений, цилиндр называют наклонным (рис. 2.3.22, б, 2.3.23, б, в).
Наклонные сечения прямого кругового цилиндра являются эллипсами (сечения плоскостями
(
2) и
‘(
‘ 2) на рис. 2.3.22, а). На рис. 2.3.22, б изображен наклонный цилиндр, основаниями которого являются косые сечения (эллипсы).
Рис. 2.3.23
Наклонные сечения прямого эллиптического цилиндра в общем случае — эллипсы. Однако его всегда можно пересечь плоскостью, наклонной к его образующим, таким образом, что в сечении получится круг. Эллиптический цилиндр имеет две системы круговых сечений (построение их рассмотрено в гл. 4). На рис. 2.3.23, а показаны плоскости Г(Г2) и Г'(Г’2), пересекающие эллиптический цилиндр по окружностям. На рис. 2.3.23, б, в выполнены чертежи наклонных эллиптических цилиндров, основаниями которых являются их круговые сечения.
Конические поверхности
Неподвижная кривая m(m1,m2), по которой скользит образующая l(l1,l2), называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и коническая поверхность будет второго порядка. Неподвижная точка S(S1,S2), делящая поверхность на две бесконечные полы, называется вершиной. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас конической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая (исключением является только вершина S, которая называется «особой точкой поверхности». Геометрическая часть определителя конической поверхности состоит из направляющей кривой m и вершины S.
Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, проходящая через вершину S и пересекающая кривую m. Часть замкнутой конической поверхности, ограниченная вершиной и какой-либо плоскостью, пересекающей все ее образующие, называется конусом. Фигура сечения конической поверхности этой плоскостью называется основанием конуса. Сечение конической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее оси, называется нормальным. Осью конической поверхности называется линия пересечения ее плоскостей симметрии. Следовательно, не все конические поверхности имеют ось, а только те, которые имеют не меньше двух плоскостей симметрии.
Конические поверхности, не имеющие оси (а следовательно, и нормального сечения), называются коническими поверхностями общего вида.
Конические поверхности, имеющие ось, в зависимости от вида нормального сечения бывают:
1) круговые — нормальное сечение круг (рис. 2.3.25);
2) эллиптические — нормальное сечение эллипс (рис. 2.3.26) и другие.
Если за основание конуса принимается фигура его нормального сечения, конус называют прямым, если иное сечение — наклонным. Прямой круговой конус изображен на рис. 2.3.25, а, наклонный круговой конус — на рис. 2.3.25, б. Основанием такого конуса может быть только эллипс (см. раздел 4), ось его не проходит через центр основания.
Прямой эллиптический конус показан на рис. 2.3.26, а. Эллиптический конус (так же как и эллиптический цилиндр) имеет две системы круговых сечений. Построение круговых сечений поверхностей второго порядка рассматривается в разделе 4.3.
Если принять одно из них за основание конуса, получим наклонный эллиптический конус с круговым основанием (рис. 2.3.26, б). Ось наклонного конуса не проходит через центр основания. Заметим, что у всех развертывающихся линейчатых поверхностей две смежные образующие либо пересекаются (торс, коническая поверхность), либо параллельны (цилиндрическая поверхность).
Какие поверхности называют линейчатыми
Поверхность
— множество положений движущейся в пространстве линии(рис.1).
Поверхность — двупараметрическое множество точек.
Поверхность считается полностью заданной, а чертеж поверхности метрически определенным, если могут быть построены проекции любой точки, принадлежащей поверхности. Основой для ее построения служит теорема о принадлежности.
Образующая
— линия (прямая или кривая), которая при своем движении образует какую-либо поверхность.
Движение образующей может быть задано:
— направляющими линиями,
— законом перемещения образующей, а именно:
.
параллельным переносом (сдвигом);
.
вращением;
.
винтовым движением (композицией сдвига и вращения).
Направляющие
— линии (прямые или кривые), задающие направление движения образующей.
Определитель
— необходимое и достаточное множество геометрических фигур (Г) и связей между ними [A], которые однозначно задают поверхность.
Общая структура определителя имеет вид:
F ( G ) ; [A], где:
F — обозначение поверхности (как геометрической фигуры); ( G ) — геометрическая часть; [A] — алгоритмическая часть определителя.
На комплексном чертеже поверхность может быть задана проекциями геометрических фигур определителя, каркасом или очерком.
Каркас
— упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности.
Очерк
— границы видимости поверхности по отношению к плоскостям проекций.
Классификация
по виду образующих и направляющих
ПОВЕРХНОСТИ
где:
const.jpg» /> — криволинейная образующая переменного вида;
— криволинейная образующая постоянного вида;
— прямолинейная образующая;
— криволинейная направляющая;
Нелинейчатыми называют поверхности, образующая которых — кривая линия, изменяющая свою форму по мере перемещения (
const.jpg» />) или сохраняющая ее (
).
Линейчатыми называют поверхности, которые могут быть образованы движением прямой образующей
.
Из поверхностей с двумя направляющими выделим группу, называемую поверхностями с плоскостью параллелизма. Их общий признак: образующая при своем движении параллельна некоторой плоскости, называемой
плоскостью параллелизма
.
Их определитель:
.
В зависимости от формы направляющих (прямые или кривые) наиболее распространенными представителями этого семейства являются:
— цилиндроид (обе направляющие — кривые);
— коноид (одна направляющая — кривая, другая — прямая);
— косая плоскость или гиперболический параболоид (обе направляющие — прямые) (рис.2).
Из группы поверхностей с одной направляющей отметим коническую и цилиндрическую поверхности.
Цилиндрическая поверхность образована движением прямой образующей по одной направляющей при условии параллельности всех образующих (рис.3).
Коническая поверхность образована движением прямой образующей по одной направляющей при условии пересечения всех образующих в некоторой общей точке — вершине (рис.4).
Классификация
по закону движения образующей
ПОВЕРХНОСТИ
где:
Т — символ параллельного переноса;
R — символ вращения;
o — символ композиции движений;
.jpg» /> — криволинейная образующая;
— прямолинейная образующая.
Поверхности параллельного переноса
Поверхность параллельного переноса (сдвига) создается движением образующей g вдоль оси переноса i (рис.5).
Поверхность вращения создается вращением образующей (прямой или кривой) вокруг оси вращения (рис.6), где:
i
— ось вращения;
g
— образующая;
p
— параллель поверхности (окружность);
e
— экватор (параллель максимального диаметра в своей окрестности);
q
— горло (параллель минимального диаметра в своей окрестности);
m
— меридиан;
m
— главный меридиан.
Поверхности вращения с прямой образующей
В зависимости от положения прямой образующей относительно оси вращения можно выделить следующие виды поверхностей этой группы:
— цилиндрические (
g || i
) (рис.7а);
— конические (
g З i =S
) (рис.7б);
— однополостный гиперболоид вращения (
g
i
) (рис.7в).
Поверхности вращения с образующей — окружностью
В зависимости от соотношения величин радиуса r окружности и расстояния d от ее центра до оси вращения можно выделить следующие виды поверхностей этой группы:
— закрытый тор (d R) (рис.10).
Поверхности вращения с образующей — кривой второго порядка
В зависимости от вида образующей можно выделить следующие виды поверхностей этой группы:
— эллипсоид вращения (рис.11);
— параболоид вращения (рис.12);
— гиперболоид вращения (рис.13).
Винтовые поверхности (геликоиды) создаются при винтовом движении образующей (прямой или кривой) вокруг оси.
В зависимости от положения прямой образующей по отношению к оси различают следующие виды геликоидов:
— открытый (
g
i
) , закрытый (
g
З
i
);
— прямой (
g
^
i
) , наклонный ( № 0 ).
На рис.14 дан пример изображения на комплексном чертеже прямого закрытого геликоида.