Головна
Калькулятори
Як позначається середня лінія трапеції. Запам'ятовуємо та застосовуємо властивості трапеції

Як позначається середня лінія трапеції. Запам'ятовуємо та застосовуємо властивості трапеції

У цій статті для вас зроблена чергова добірка завдань із трапецією. Умови однак пов'язані з її середньої лінією. Типи завдань взято з відкритого банку типових завдань. Якщо є бажання, можете освіжити свої теоретичні знання . На блозі вже розглянуті завдання умови яких пов'язані з , а також . Коротко про середню лінію:


Середня лінія трапеції поєднує середини бічних сторін. Вона паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Перед розв'язанням задач давайте розглянемо теоретичний приклад.

Дано трапецію ABCD. Діагональ АС перетинаючи із середньою лінією утворює точку К, діагональ BD точку L. Довести, що відрізок KL дорівнює половині різниці підстав.


Давайте спочатку відзначимо те що, що середня лінія трапеції ділить навпіл будь-який відрізок кінці якого лежать з її підставах. Цей висновок напрошується сам собою. Уявіть відрізок, що з'єднує дві точки основ, він розіб'є цю трапецію на дві інші. Вийде, що відрізок паралельний основам трапеції і проходить через середину бокової сторони на іншій стороні пройде через її середину.

Так само це ґрунтується на теоремі Фалеса:

Якщо на одній із двох прямих відкласти послідовно кілька рівних відрізків і через їх кінці провести паралельні прямі, що перетинають другу пряму, то вони відсічуть на другій прямі рівні відрізки.

Тобто в даному випадку середина АС і L середина BD. Отже, EK є середня лінія трикутника АВС, LF є середня лінія трикутника DCB. За якістю середньої лінії трикутника:

Можемо тепер виразити відрізок KL через підстави:

Доведено!

Цей приклад наведено не так. У задачах для самостійного вирішення є саме таке завдання. Тільки в ній не сказано, що відрізок, що з'єднує середини діагоналей, лежить на середній лінії. Розглянемо завдання:

27819. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її основи дорівнюють 30 і 16.


Обчислюємо за такою формулою:

27820. Середня лінія трапеції дорівнює 28, а менша основа дорівнює 18. Знайдіть більшу основу трапеції.


Висловимо більшу основу:

Таким чином:

27836. Перпендикуляр, опущений з вершини тупого кута на більшу основу рівнобедреної трапеції, ділить його на частини, що мають довжини 10 і 4. Знайдіть середню лінію цієї трапеції.


Для того, щоб знайти середню лінію, необхідно знати підстави. Основу АВ знайти просто: 10+4=14. Знайдемо DC.

Побудуємо другий перпендикуляр DF:


Відрізки AF, FE та EB дорівнюють відповідно 4, 6 і 4. Чому?

У рівнобедреній трапеції перпендикуляри, опущені до більшої основи, розбивають його на три відрізки. Два з них є катетами відсіканих прямокутних трикутників, рівні один одному. Третій відрізок дорівнює меншому підставі, оскільки при побудові зазначених висот утворюється прямокутник, а прямокутнику протилежні сторони рівні. У цій задачі:

Таким чином, DC=6. Обчислюємо:

27839. Основи трапеції відносяться 2:3, а середня лінія дорівнює 5. Знайдіть меншу основу.


Введемо коефіцієнт пропорційності х. Тоді АВ = 3х, DC = 2х. Можемо записати:

Отже, менша основа дорівнює 2∙2=4.

27840. Периметр рівнобедреної трапеції дорівнює 80, її середня лінія дорівнює бічній стороні. Знайдіть бічну сторону трапеції.

Виходячи з умови можемо записати:

Якщо позначити середню лінію через величину x, то вийде:

Друге рівняння вже можна записати у вигляді:

27841. Середня лінія трапеції дорівнює 7, а одна з її основ більша за іншу на 4. Знайдіть більшу основу трапеції.


Позначимо меншу основу (DC) як х, тоді більша (AB) дорівнюватиме х+4. Можемо записати

Отримали, що менша основа рано п'яти, значить більша дорівнює 9.

27842. Середня лінія трапеції дорівнює 12. Одна з діагоналей ділить її на два відрізки, різниця яких дорівнює 2. Знайдіть більшу основу трапеції.


Більше підставу трапеції ми легко знайдемо якщо обчислимо відрізок ЕО. Він є середньою лінією в трикутнику ADB і АВ=2∙ЕО.

Що маємо? Сказано, що середня лінія дорівнює 12 і різниця відрізків ЕО і ОF дорівнює 2. Можемо записати два рівняння і розв'язати систему:

Зрозуміло, що в даному випадку підібрати пару чисел можна без обчислень, це 5 і 7. Але все-таки вирішимо систему:


Значить ЕО = 12-5 = 7. Таким чином, більша основа дорівнює АВ=2∙ЕО=14.

27844. У рівнобедреній трапеції діагоналі перпендикулярні. Висота трапеції дорівнює 12. Знайдіть її середню лінію.

Відразу відзначимо, що висота, проведена через точку перетину діагоналей в рівнобедреній трапеції, лежить на осі симетрії і розбиває трапецію на дві рівні прямокутні трапеції, тобто підстави цією висотою діляться навпіл.

Здавалося б, для обчислення середньої лінії ми маємо знайти підстави. Тут невеликий глухий кут виникає ... Як знаючи висоту, в даному випадку, обчислити підстави? А ні як! Таких трапецій з фіксованою висотою та діагоналями, що перетинаються по куту 90 градусів, можна побудувати безліч. Як бути?

Подивіться формулу середньої лінії трапеції. Адже нам необов'язково знати самі підстави, достатньо дізнатися про їх суму (або напівсуму). Це ми можемо зробити.

Так як діагоналі перетинаються під прямим кутом, то висотою EF утворюються рівнобедрені прямокутні трикутники:

З вище сказаного слід, що FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Тепер запишемо чому дорівнює висота, виражена через відрізки DF і AE:


Отже, середня лінія дорівнює 12.

*Взагалі це завдання, як ви зрозуміли, для усного рахунку. Але, впевнений, подане докладне пояснення необхідне. А так… Якщо поглянути на малюнок (за умови, що при побудові дотримано кута між діагоналями), відразу в очі впадає рівність FO=DF=FC, а OE=AE=EB.

У складі прототипів є типи завдань з трапеціями. Побудована вона на листі в клітину і потрібно знайти середню лінію, сторона клітини зазвичай дорівнює 1, але може бути інша величина.

27848. Знайдіть середню лінію трапеції ABCDякщо сторони квадратних клітин рівні 1.

Все просто, обчислюємо підстави з клітин і використовуємо формулу: (2+4)/2=3

Якщо підстави побудовані під кутом до клітинної сітки, тобто два способи. Наприклад!

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Трапеція— це чотирикутник, що має дві паралельні сторони, що є основами та дві не паралельні сторони, що є бічними сторонами.

Також зустрічаються такі назви, як рівнобокаабо рівнобочна.

- Це трапеція, у якої кути при боці прямі.

Елементи трапеції

a, b - основи трапеції(a паралельно b),

m, n - бічні сторонитрапеції,

d 1 , d 2 діагоналітрапеції,

h - висотатрапеції (відрізок, що з'єднує основи і при цьому перпендикулярний їм),

MN - середня лінія(Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін).

Площа трапеції

  1. Через напівсуму основ a, b і висоту h : S = frac(a + b) (2) c h h
  2. Через середню лінію MN і висоту h : S = MN cdot h
  3. Через діагоналі d 1 , d 2 і кут (\ sin \ varphi) між ними: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

Властивості трапеції

Середня лінія трапеції

Середня лініяпаралельна основам, що дорівнює їх напівсумі і поділяє кожен відрізок з кінцями, що знаходяться на прямих, які містять основи, (наприклад, висоту фігури) навпіл:

MN || a, MN | b, MN = \frac(a + b)(2)

Сума кутів трапеції

Сума кутів трапеції, прилеглих до кожної бічній стороні, дорівнює 180^(\circ) :

\alpha + \beta = 180^(\circ)

\gamma + \delta = 180 ^ (\ circ)

Рівновеликі трикутники трапеції

Рівновеликими, тобто такими, що мають рівні площі, є відрізки діагоналей і трикутники AOB і DOC , утворені бічними сторонами.

Подібність утворених трикутників трапеції

Подібними трикутникамиє AOD і COB, які утворені своїми основами та відрізками діагоналей.

\triangle AOD \sim \triangle COB

Коефіцієнт подібності k знаходиться за формулою:

k = frac(AD)(BC)

Причому відношення площ цих трикутників до k^(2) .

Відношення довжин відрізків та основ

Кожен відрізок, що з'єднує основи та проходить через точку перетину діагоналей трапеції, поділений цією точкою щодо:

\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)

Це буде справедливим і для висоти із самими діагоналями.

Середня лініяфігур у планіметрії - відрізок, що з'єднує середини двох сторін цієї фігури. Поняття використовується для наступних форм: трикутник, чотирикутник, трапеція.

Енциклопедичний YouTube

    1 / 3

    ✪ 8 клас, 25 урок, Середня лінія трикутника

    ✪ геометрія СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ ТРИКУТНИКА Атанасян 8 клас

    ✪ Середня лінія трикутника | Геометрія 7-9 клас #62 | Інфоурок

    Субтитри

Середня лінія трикутника

Властивості

  • середня лінія трикутника паралельна до основи і дорівнює його половині.
  • при перетині всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівні трикутники, подібних (навіть гомотетичних) вихідному з коефіцієнтом 1/2.
  • середня лінія відсікає трикутник, який подібний до цього, а його площа дорівнює одній четвертій площі вихідного трикутника.
  • Три середні лінії трикутника розбиває його на 4 рівних (однакових) трикутника, подібних до вихідного трикутника. Усі 4 такі однакові трикутники називають серединними трикутниками. Центральний із цих 4 однакових трикутників називається додатковим трикутником .

Ознаки

  • якщо відрізок паралельний одній зі сторін трикутника і з'єднує середину однієї сторони трикутника з точкою, що лежить з іншого боку трикутника, це середня лінія.

Середня лінія чотирикутника

Середня лінія чотирикутника- Відрізок, що з'єднує середини протилежних сторін чотирикутника.

Властивості

Перша лінія з'єднує дві протилежні сторони. Друга з'єднує 2 інші протилежні сторони. Третя з'єднує центри двох діагоналей (не у всіх чотирикутниках діагоналі пунктом перетину діляться навпіл).

  • Якщо у опуклому чотирикутнику середня лінія утворює рівні кути з діагоналями чотирикутника, то діагоналі рівні.
  • Довжина середньої лінії чотирикутника менша за півсуму двох інших сторін або дорівнює їй, якщо ці сторони паралельні, і тільки в цьому випадку.
  • Середини сторін довільного чотирикутника – вершини паралелограма. Його площа дорівнює половині площі чотирикутника, яке центр лежить на точці перетину середніх ліній. Цей паралелограм називається паралелограмом Варіньйона;
  • Останній пункт означає наступне: У опуклому чотирикутнику можна провести чотири середні лінії другого роду. Середні лінії другого роду- чотири відрізки усередині чотирикутника, що проходять через середини його суміжних сторін паралельно діагоналям. Чотири середні лінії другого родуопуклого чотирикутника розрізають його на чотири трикутники та один центральний чотирикутник. Цей центральний чотирикутник є паралелограмом Варіньйона.
  • Точка перетину середніх ліній чотирикутника є їхньою загальною серединою і ділить навпіл відрізок, що з'єднує середини діагоналей. Крім того, вона є

Клас: 8

Цілі уроку:

1) познайомити учнів із поняттям середньої лінії трапеції, розглянути її властивості та довести їх;

2) навчити будувати середню лінію трапеції;

3) розвивати вміння учнів використовувати визначення середньої лінії трапеції та властивості середньої лінії трапеції під час вирішення завдань;

4) продовжувати формувати в учнів вміння говорити грамотно, використовуючи необхідні математичні терміни; доводити свою думку;

5) розвивати логічне мислення, пам'ять, увагу.

Хід уроку

1. Перевірка домашнього завдання відбувається протягом уроку. Домашнє завдання було усним, згадати:

а) визначення трапеції; види трапецій;

б) визначення середньої лінії трикутника;

в) властивість середньої лінії трикутника;

г) ознака середньої лінії трикутника.

2. Вивчення нового матеріалу.

а) На дошці зображено трапецію ABCD.

б) Вчитель пропонує згадати визначення трапеції. На кожній парті є схема-підказка, яка допомагає згадати основні поняття теми “Трапеція” (див. Додаток 1). Додаток 1 видається кожну парту.

Учні зображують трапецію ABCD у зошиті.

в) Вчитель пропонує згадати, як і темі зустрічалося поняття середньої лінії (“Середня лінія трикутника”). Учні згадують визначення середньої лінії трикутника та її властивість.

д) Записують визначення середньої лінії трапеції, зображуючи їх у зошити.

Середньою лінієютрапеції називається відрізок, що з'єднує середини її бічних сторін.

Властивість середньої лінії трапеції цьому етапі залишається не доведеним, тому наступний етап уроку передбачає роботу над доказом якості середньої лінії трапеції.

Теорема. Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює їх напівсумі.

Дано: ABCD - трапеція,

MN – середня лінія ABCD

Довести, що:

1. BC || MN || AD.

2. MN = (AD + BC).

Можна виписати деякі наслідки, що випливають із умови теореми:

AM=MB, CN=ND, BC || AD.

На підставі перелічених властивостей довести необхідне неможливо. Система питань та вправ має підвести учнів до бажання пов'язати середню лінію трапеції із середньою лінією якогось трикутника, властивості якої вони знають. Якщо пропозицій не буде, то можна поставити запитання: як побудувати трикутник, для якого відрізок MN був би середньою лінією?

Запишемо додаткову побудову для одного з випадків.

Проведемо пряму BN, що перетинає продовження сторони AD у точці K.

З'являються додаткові елементи – трикутники: ABD, BNM, DNK, BCN. Якщо доведемо, що BN = NK, це означатиме, що MN – середня лінія ABD, а далі можна буде скористатися властивістю середньої лінії трикутника і довести необхідне.

Доведення:

1. Розглянемо BNC і DNK, у яких:

а) CNB = DNK (властивість вертикальних кутів);

б) BCN = NDK (властивість внутрішніх навхрест лежачих кутів);

в) CN = ND (за наслідком з умови теореми).

Значить BNC = DNK (на стороні та двох прилеглих до неї кутах).

Що й потрібно було довести.

Доказ можна провести на уроці усно, а вдома відновити та записати у зошиті (на розсуд вчителя).

Необхідно сказати і про інші можливі способи доказу цієї теореми:

1. Провести одну з діагоналей трапеції та використовувати ознаку та властивість середньої лінії трикутника.

2. Провести CF || BA і розглянути паралелограм ABCF та DCF.

3. Провести EF || BA і розглянути рівність FND та ENC.

ж) На цьому етапі задається домашнє завдання: п. 84, підручник за ред. Атанасяна Л.С. (Доказ властивості середньої лінії трапеції векторним способом), записати в зошит.

з) Розв'язуємо задачі на використання визначення та властивості середньої лінії трапеції за готовими кресленнями (див. Додаток 2). Додаток 2 видається кожному учневі, і розв'язання завдань оформляється цьому ж аркуші в короткій формі.

Розділи